برای حل مسئله:
فرض کنید طول مستطیل \( l \) و عرض آن \( w \) باشد. بر اساس اطلاعات مسئله، دو معادله دارید:
1. \( 2l + 2w = 34 \) (محیط مستطیل)
2. \( lw = 42 \) (مساحت)
از معادله اول نتیجه میگیریم:
\[ l + w = 17 \]
حالا میخواهیم با استفاده از این دو معادله و حل آنها به مقادیر \( l \) و \( w \) برسیم.
از معادله \( l = 17 - w \) را جایگزین در معادله مساحت میکنیم:
\[ (17 - w)w = 42 \]
\[ 17w - w^2 = 42 \]
این معادله را به شکل استاندارد درآورید:
\[ w^2 - 17w + 42 = 0 \]
این یک معادله درجه دوم است که میتوانیم با استفاده از فرمول مربع حل کنیم:
\[ w = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
در اینجا \( a = 1 \)، \( b = -17 \)، و \( c = 42 \) است:
\[ w = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1} \]
\[ w = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 168}}{2} \]
\[ w = \frac{17 \pm \sqrt{121}}{2} \]
\[ w = \frac{17 \pm 11}{2} \]
دو پاسخ برای \( w \) داریم:
\[ w = \frac{28}{2} = 14 \]
\[ w = \frac{6}{2} = 3 \]
با استفاده از \( l + w = 17 \)، طول \( l \) با \( w = 14 \) میشود 3 و با \( w = 3 \) میشود 14.
بنابراین نسبت طول به عرض \( \frac{14}{3} \) است.
